Breaking News
recent
Home Statistika Permutasi dan Kombinasi

Permutasi dan Kombinasi

Agustus 04, 2021

 


Permutasi (Permutations)

Permutasi adalah pengaturan urutan penyusunan sekumpulan objek unik (tidak mengandung duplikasi); Permutasi dari sekumpulan n objek dapat diformulasikan sebagai faktorial dari n.

 n!=n \times (n-1) \times (n-2) \times(n-3) \times \dots \times 3 \times 2 \times 1

Kasus khusus:

 0! = 1

Permutasi: contoh 1

 

Berapa banyak kemungkinan cara untuk melakukan pengurutan angka pada baris pertama?

 \begin{equation} \begin{split} 9! &= 9\times 8 \times 7 \times 6 \times 5 \times 4 \times 3 \times 2 \times 1\\ &= 362,880 \end{split} \end{equation}

Permutasi: formula

Permutasi pada pengaturan urutan penyusunan sejumlah r objek yang diambil dari sekumpulan n objek unik dapat diformulasikan sebagai berikut 

 _{n}P_{r}=\frac{n!}{(n-r)!}

r \le n

Permutasi: contoh 2

Berapa banyak kemungkinan cara untuk membentuk empat digit angka sebagai kode akses, di mana tidak boleh ada angka yang berulang?

 n = 10 \\ r = 4

Fundamental Counting Principle?

 \begin{equation} \begin{split} _{10}P_{4} &= \frac{10!}{(10-4)!}\\ &= \frac{10!}{6!}\\ &= \frac{10 \times 9 \times 8 \times 7 \times 6 \times 5 \times 4 \times 3 \times 2 \times 1}{6 \times 5 \times 4 \times 3 \times 2 \times 1}\\ &= 5,040 \end{split} \end{equation}

Permutasi: contoh 3

Empat puluh tiga orang mengikuti lomba lari tingkat kecamatan.

Berapa banyak kemungkinan posisi untuk juara pertama, kedua, dan ketiga yang dapat terbentuk?

 n=43\\ r=3

Fundamental Counting Principle?

 \begin{equation} \begin{split} _{43}P_{3} &= \frac{43!}{(43-3)!}\\ &= \frac{43!}{40!}\\ &= \frac{43 \times 42 \times 41 \times 40! }{40!}\\ &= 74,046\end{split} \end{equation}

Permutasi: dengan duplikasi

Permutasi yang melibatkan kemunculan beberapa kali objek sejenis dapat diformulasikan sebagai berikut

 \frac{n!}{n_1! \times n_2! \times n_3! \times \dots \times n_k!}

n_1 + n_2 + n_3 + \dots + n_k = n

Permutasi: contoh 4

Semisal kita dihadapkan pada sekumpulan deret huruf sebagai berikut: AAAABBC

Berapa banyak cara untuk melakukan pengurutan deret huruf tersebut?

n_A=4\\ n_B=2\\ n_C=1

\begin{equation} \begin{split} \frac{n!}{n_A! \times n_B! \times n_C!} &= \frac{7!}{4! \times 2! \times 1!}\\ &= \frac{7\times 6 \times 5}{2}\\ &= 105 \end{split} \end{equation}

Permutasi: contoh 5

Sebuah perusahaan pengembang perumahan ditugaskan untuk melakukan pembangunan 6 unit rumah 1 lantai, 4 unit rumah 2 lantai, dan 2 unit rumah 3 lantai.

 n_{1lt} = 6\\ n_{2lt} = 4\\ n_{3lt} = 2

Bila setiap rumah dibangun secara berurutan, berapa banyak cara pengurutan bangunan rumah yang mungkin terbentuk?

 \begin{equation} \begin{split} \frac{n!}{n_{1lt}! \times n_{2lt}! \times n_{3lt}!} &=\frac{12!}{6! \times 4! \times 2!} \\ &= 13,860 \end{split} \end{equation}

Kombinasi (Combinations)

Kombinasi adalah pemilihan sejumlah r objek dari sekumpulan n objek tanpa memperhatikan urutan.

 _nC_r = \frac{n!}{(n-r)! \times r!}

r \le n

Kombinasi: contoh 1 

Pemerintah kota memiliki 5 buah taman kota (A, B, C, D, E) yang membutuhkan instalasi lampu taman. Sayangnya anggaran yang tersedia hanya memungkinkan instalasi untuk 3 taman kota saja.

 n=5\\ r=3

Berapa banyak opsi tiga taman kota yang bisa dipilih untuk instalasi lampu taman?

ABC, ABD, ABE, ACD, ACE, ADE, BCD, BCE, BDE, CDE

 \begin{equation} \begin{split} _nC_r &= \frac{n!}{(n-r)! \times r!} \\ _5C_3 &= \frac{5!}{(5-3)! \times 3!}\\ &= \frac{5!}{2! \times 3!}\\ &= \frac{20}{2} = 10 \end{split} \end{equation}

Kombinasi: contoh 2 

Suatu proyek pembangunan bendungan menyelenggarakan lelang untuk menunjuk 4 perusahaan pengembang. Terdapat 16 perusahaan pengembang yang berpartisipasi dalam proses lelang. 

 n=16\\ r=4

Berapa banyak kombinasi dari 4 perusahaan pengembang yang akan ditunjuk?

 

Probabilitas dengan Permutasi & Kombinasi: contoh 1 

Suatu unit kegiatan mahasiswa berganggotakan 17 orang.

Terdapat 3 orang yang menduduki posisi sebagai: ketua, sekretaris, dan bendahara. Setiap anggota memiliki kesempatan yang sama untuk menduduki ketiga posisi tersebut.

 n=17\\ r=3

Berapa probability untuk memilih 3 orang anggota secara acak dan ketiganya menduduki posisi sebagai ketua, sekretaris, dan bendahara?

 \begin{equation} \begin{split} _{17}P_3 &= \frac{17!}{(17-3)!}\\ &= \frac{17 \times 16 \times 15 \times 14!}{14!} \\ &= 4,080 \end{split} \end{equation}

P(E) = \frac{1}{4,080} \approx 0.0002

Probabilitas dengan Permutasi & Kombinasi: contoh 2 

Berapa probability untuk mendapatkan keseluruhan diamonds dari pengambilan 5 kartu pada tumpukan playing cards (52 kartu)?

Kombinasi yang mungkin terbentuk dari pengambilan 5 kartu:

 _{52}C_{5}

Kombinasi yang mungkin terbentuk dari 5 kartu diamonds:

 _{13}C_{5}

Probabilitas dengan Permutasi & Kombinasi: contoh 3 

Dari kumpulan 400 bola tenis diketahui terdapat 3 bola yang cacat produksi. Dilakukan pengambilan 4 bola secara acak. 

Kombinasi yang mungkin terbentuk dari pengambilan 4 bola:

 _{400}C_4

Kombinasi yang mungkin terbentuk dari pengambilan 1 bola cacat produksi:

 _{3}C_{1}

Kombinasi yang mungkin terbentuk dari pengambilan 3 bola tidak cacat produksi:

 _{397}C_{3}

Berapa probability untuk mendapatkan satu bola yang cacat produksi?

 \begin{equation} \begin{split} P(E) &= \frac{_3C_1 \times _{397}C_3}{_{400}C_{4}}\\ & \approx 0.03 \end{split} \end{equation}


 

Tags :

Tidak ada komentar:

Langganan: Posting Komentar ( Atom )
Diberdayakan oleh Blogger.