Distribusi Binomial Binomial Distribution

Binomial Experiments

Binomial experiment merupakan suatu probability experiment yang memenuhi kriteria berikut:

Memiliki jumlah percobaan (trials) yang tetap dan setiap trial independent terhadap trials lainnya.
Setiap trial hanya memiliki dua kemungkinan outcomes; biasa dikategorikan sebagai success (S) atau failure (F).
Memiliki nilai probability success yang sama untuk tiap trial.
Random variabel x merepresentasikan jumlah kemunculan success dalam suatu experiment.

Contoh :

Suatu teknik pembibitan ikan lele memiliki tingkat keberhasilan 85%. Teknik ini lalu diterapkan pada 8 kolam ikan (empang). Nilai random variable merepresentasikan banyaknya empang yang berhasil melakukan pembibitan. Apakah experiment ini bisa dikategorikan sebagai binomial experiment?

$n=8\\ p=0.85\\ q=1-0.85=0.15\\ x=0,1,2,3,4,5,6,7,8$

Binomial Probability Formula

Terdapat beberapa cara untuk menghitung probability dari x success dari sejumlah n trials pada suatu binominal experiment: Tree Diagram, Multiplication Rule

Binomial Probability Formula.

$\begin{equation} \begin{split} P(x) & =\ _{n}C_x \times p^{x} \times q^{n-x}\\ & = \frac{n!}{(n-x)!\times x!} \times p^{x} \times q^{n-x} \end{split} \end{equation}$

Binomial Probability contoh Tree Diagram

Diketahui peluang keberhasilan untuk suatu operasi otot tendon adalah 90%. Bila dilakukan operasi terhadap 3 orang pasien; berapa probability untuk mendapatkan keberhasilkan tepat pada 2 orang pasien?

$\begin{equation} \begin{split} P(2) &= 3 \times \frac{81}{1000}\\ &= 0.243 \end{split} \end{equation}$

Binomial Probability contoh Formula

$\begin{equation} \begin{split} n &= 3\\ p &= \frac{9}{10}\\ q &= \frac{1}{10}\\ x &= 2 \end{split} \end{equation}$ $\begin{equation} \begin{split} P(x) &= \frac{n!}{(n-x)! \times x!} \times p^{x} \times q^{n-x}\\ &= \frac{3!}{(3-2)! \times 2!} \times \left (\frac{9}{10} \right )^{2} \times \left (\frac{1}{10} \right )^{3-2} \\ &= 0.243 \end{split} \end{equation}$

Binomial Probability: Mean, Variance & Standard Deviation

Mean

$\mu = n \times p$

Variance

$\sigma^2 = n \times p \times q$

Standard Deviation
$\sigma = \sqrt{\sigma^2} = \sqrt {n \times p \times q}$

Example Mean, Variance & Standard Deviation

$n=30;\ \ p=0.56;\ \ q=0.44$

Dari hasil pendataan, diperoleh bahwa 56% cuaca harian di Kota Malang dalam satu tahun adalah berawan.

Carilah mean dan standard deviation yang merepresentasikan jumlah hari di Kota Malang dengan cuaca harian berawan pada Bulan Juni!

$\begin{equation} \begin{split} \mu &= n \times p\\ &= 30 \times 0.56\\ &= 16.8 \end{split} \end{equation}$

$\begin{equation} \begin{split} \sigma^2 &= n \times p \times q\\ &= 30 \times 0.56 \times 0.44\\ &\approx 7.4 \end{split} \end{equation}$ $\begin{equation} \begin{split} \sigma &= \sqrt{\sigma^2} \\ &= \sqrt{n \times p \times q}\\ &= \sqrt{30 \times 0.56 \times 0.44}\\ &\approx 2.7 \end{split} \end{equation}$